Kapitel 11 Hypothesentests
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11.1 Korrelationskoeffizient (Pearson)
11.1.1 Theoretische Grundlagen
Der empirische Korrelationskoeffizient nach Pearson \(r_{xy}\) als Schätzer für den Korrelationskoeffizienten in der Grundgesamtheit \(\rho_{xy}\) ist wie folgt definiert.
\[ r_{xy} = \frac{s_{xy}}{\sqrt{s_x^2 s_y^2}} \]
Dabei bezeichnet \(s_x^2\) die empirische Varianz der Variable \(X\), \(s_y^2\) die empirische Varianz der Variable \(Y\) und \(s_{xy}\) die empirische Kovarianz zwischen den Variablen \(X\) und \(Y\). Die nachfolgende Tabelle zeigt die Hypothesen und die Testvorschriften für einen rechtssseitigen, linksseitigen und beidseitigen Hypothesentest. Die Nullhypothese \(H_0: \rho = 0\) entspricht der Annahme der stochastischen Unabhängigkeit. Zur Vereinfachung der Notation wird der Korrelationskoeffizient zwischen \(X\) und \(Y\), in der nachfolgenden Tabelle nur mit \(\rho\) bzw. \(r\) bezeichnet.
Annahmen: Bivariate Normalverteilung von \(X\) und \(Y\) in der Grundgesamtheit, \(n\leq 30\).
| Hypothesen | Testvorschrift: Verwerfe \(H_0\), wenn gilt: |
|---|---|
| \(H_0: \rho = 0\) vs. \(H_1: \rho > 0\) | \(\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} > t_{n-2,1-\alpha}\) |
| \(H_0: \rho = 0\) vs. \(H_1: \rho < 0\) | \(\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} < -t_{n-2,1-\alpha}\) |
| \(H_0: \rho = 0\) vs. \(H_1: \rho \neq 0\) | \(\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} > t_{n-2,1-\alpha}\) oder \(\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} < -t_{n-2,1-\alpha}\) |
11.1.2 Praktische Anwendung
Angewendet werden kann der Signifikanztest für den Korrelationskoeffizienten nach Pearson in R mit der Funktion cor.test unter setzen des Arguments method = "pearson". Die Festlegung der Richtung des Tests (rechtsseitig, linksseitig, beidseitig) durch Spezifikation der Alternativhypothese \(H_1\) erlaubt das Argument alternative.
x <- c(44.4, 45.9, 41.9, 53.3, 44.7, 44.1, 50.7, 45.2, 60.1)
y <- c( 2.6, 3.1, 2.5, 5.0, 3.6, 4.0, 5.2, 2.8, 3.8)
result <- cor.test(x, y, method = "pearson", alternative = "two.sided")
result##
## Pearson's product-moment correlation
##
## data: x and y
## t = 1.8411, df = 7, p-value = 0.1082
## alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -0.1497426 0.8955795
## sample estimates:
## cor
## 0.5711816Im gezeigten Beispiel wird ein beidseitiger Hypothesentest (alternative = "two.sided") für einen fiktiven Datensatz mit \(n=\) 9 Beobachtungen durchgeführt. Der berechnete empirische Korrelationskoeffizient beträgt hier \(r_{xy}=\) 0.5712. Die berechnete Teststatistik aus einer \(t\)-Verteilung mit 7 Freiheitsgerade beträgt 1.841. Die Nullhypothese kann erstmals ab einem Signifikanzniveau von \(\alpha^*=\) 0.1082 verworfen werden. Angenommen der Test wird mit einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 0.05 = 5\%\) durchgeführt, so kann die Nullhypothese \(H_0\) nicht verworfen werden. Es liegt keine empirische Evidenz für die Abhängigkeit von \(X\) und \(Y\) in der Grundgesamtheit vor. Es gilt \(\rho_{xy}=0\), die Variablen \(X\) und \(Y\) sind voneinander nicht linear abhängig.
11.1.3 Ergänzende Erläuterungen
Nachfolgend wird die manuelle Berechnung für die wesentlichen Werte des Hypothesentests nachvollzogen. Die gezeigten Werte sind Deckungsgleich mit den Werten der Funktion cor.test aus dem zuvor gezeigten Beispiel.
# Stichprobengröße auslesen
n <- length(x) <- length(y)
# Teststatistik berechnen
r <- cor(x,y)
teststat <- (r*sqrt(n-2))/sqrt(1-r^2)
# Implizite Irrtumswahrscheinlichkeit berechnen
alpha_imp <- 2 * pt(teststat, df = n-2, lower.tail = FALSE)Um die gezeigte Testvorschrift manuell prüfen zu können, wird nach Festlegen der maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit \(\alpha\) noch der Vergleichswert der \(t\)-Verteilung (rechte Seite der Ungleichungen aus der Tabelle mit den Testvorschriften) benötigt. Die Funktion qt gibt hier die Quantile der \(t\)-Verteilung an und übernimmt somit die Aufgabe der Verteilungstabelle. Die Testvorschrift kann also auch hier direkt über die oben gezeigten Ungleichungen als auch über das implizite Signifikanzniveau, dem p-Value \(\alpha^*\), geprüft werden. Beide Vorgehensweisen führen (natürlich) zu einem identischen Ergebnis.